MATEMATICAS IV: marzo 2014

PROBLEMA 45

Ecopetrol tiene refinerías en Cartagena y en Barrancabermeja. La refinería de

Cartagena puede refinar hasta dos millones de barriles de petróleo por año; la

refinería de Barrancabermeja puede refinar hasta 3 millones de barriles de

petróleo por año. Una vez refinado, se envía el petróleo a dos puntos de

distribución: Cartagena y Santa Marta. Ecopetrol estima que cada punto de

distribución puede vender hasta 5 millones de barriles de petróleo refinado al año.

Debido a diferencias en los costos de envío y de refinación, la ganancia obtenida

(en dólares) por millón de barriles de petróleo enviado, depende del lugar de

refinación y del punto de distribución, así:

Ecopetrol considera aumentar la capacidad de cada refinería. Cada aumento en

la capacidad anual de refinación de un millón de barriles, cuesta 120000 dólares

para la refinería de Cartagena y 150000 dólares para la refinería de Cartagena.

Utilice la programación lineal para determinar como Ecopetrol puede maximizar

sus ganancias, menos los costos de ampliación, en un período de 10 años.

SOLUCION:

X₁= Millones de barriles refinados en Cartagena y distribuidos en Cartagena

X₂= Millones de barriles refinados en Cartagena y distribuidos en Santa Marta

X₃= Millones de barriles refinados en Barrancabermeja y distribuidos en Cartagena

X₄= Millones de barriles refinados en Barranca y distribuidos en Santa Marta

F.O. MAX Z= 20000X₁+ 15000X₂+ 18000X₃+ 17000X₄

S.a. 1) X₁+ X₂<= 50 millones

2) X₃ + X₄<= 50 millones

3) X₁, X₂, X₃, X₄>= 0

Rta: X₁ = 50 Millones de barriles

X₃ = 50 Millones de barriles

Z= 1.900.000 Millones de dólares.

PROBLEMA 46

La cervecería Bloomington produce cerveza común y la de tipo ale. La cerveza se
vende a 5 dólares el barril, y el de ale a 2 dólares el barril. La producción de un
barril de cerveza requiere de 5 libras de cebada y 2 libras de lúpulo. La producción
de un barril de ale requiere de 2 libras de cebada y 1 libra de lúpulo. Se dispone
de 60 libras de cebada y de 25 libras de lúpulo. Formule un PL que se pueda
utilizar para maximizar los ingresos.

Resuelva el problema GRÁFICAMENTE y luego computacionalmente.

SOLUCION:

X₁= Barril de cerveza común

X₂= Barril de cerveza Ale

F.O. MAX Z= 5 X₁+ 2 X₂

S.a. 1) 5 X₁+ 2 X₂<= 60

2) 2 X₁ + X₂<= 25

3) X₁, X₂>=0

Rta: X₁ = 12 Barriles

X₂ = 0 Barriles

Z = 60 Dólares

PROBLEMA 47

Una compañía marítima requiere de una flota de barcos para dar servicios de
transporte de carga entre 6 ciudades. Hay 4 rutas especificadas que deben ser
atendidas diariamente. Estas rutas y el número de barcos requeridos para cada

ruta son los siguientes:

Se requiere un día para descargar cada barco y un día para cargarlo. ¿Cuántos
barcos debe comprar la compañía marítima?

SOLUCION:

X₁= Ruta Dhahram- Nueva York

X₂= Ruta Marsella- Estambul

X₃= Ruta Nápoles- Bombay

X₄= Ruta Nueva York- Marsella

F.O. MIN Z = 19X₁+ 5X₂+ 9X₃+ 15X₄

S.a. X₁= 3

X₂= 2

X₃= 1

X₄=1

Rta: X₁= 3

X₂= 2

X₃= 1

X₄= 1

Z= 91

PROBLEMA 48

El personal técnico de un hospital desea elaborar un sistema computarizado para
planear diversos menús. Para empezar, deciden planear el menú de la comida.
El menú se divide en tres grandes categorías: legumbres, carne y postre. Se
desea incluir en el menú por lo menos el equivalente a una porción de cada
categoría. A continuación se resume el costo por ración de algunos de los
alimentos sugeridos, así como su contenido de carbohidratos, vitaminas, proteínas

y grasas.

SOLUCION:

X₁= Fríjoles

X₂=Tomates

X₃=Zanahoria

X₄=Maíz

X₅=Habichuela

X₆=Arroz

X₇=Pollo

X₈=Res

X₉=Pescado

X₁₀=Naranja

X₁₁=Manzana

X₁₂=Pudín

X₁₃=Gelatina

F.O. MIN Z= 0.10X₁+ 0.12X₂+ 0.13X₃+ 0.09X₄+ 0.10X₅+ 0.07X₆+ 0.70X₇+1.2X₈+ 0.63X₉ + 0.28X₁₀ + 0.42X₁₁+ 0.15X₁₂+ 0.12X₁₃

S.a X₁+ X₂+ X₃+ 2X₄+ 4X₅+ 5X₆+ 2X₇+3X₈+ 3X₉+ X₁₀ + X₁₁+ X₁₂+ X₁₃>= 5

3X₁+ 5X₂+ 5X₃+ 6X₄+ 2X₅+ X₆+ X₇+8X₈+ 6X₉+ 3X₁₀ + 2X₁₁>= 10

X₁+ 2X₂+ X₃+ X₄+ X₅+ X₆+ 3X₇+ 5X₈+ 6X₉+ 7X₁₀>= 10

2X₄+ X₅+ X₆+ X₇+ X₈+ X₉>= 2

X₁+ X₂+ X₃+ X₄+ X₅+ X₆= 1

X₇+ X₈+ X₉=1

X₁₀ + X₁₁+ X₁₂+ X₁₃= 1

X₃= 0,46 Porción

X₄= 0,46 Porción

X₆= 0,08 Porción

X₇= 0,78 Porción

X₉= 0,22 Porción

X₁₀= 0,76 Porción

X₁₁= 0,24 Porción

Z= 0 Costo

PROBLEMA 50

En la ciudad de Armenia se va a demoler un barrio de 10 acres y la alcaldía debe
decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos
habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden
construir 20 y 15 unidades de cada vivienda por acre, respectivamente. Los
costos por unidad de las viviendas a bajo y medio costo son 13 millones y 18
millones, respectivamente. Los límites superior e inferior establecidos por la
alcaldía sobre el número de viviendas de bajo costo son 60 y 100
respectivamente. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe
estar entre 30 y 70. Se estima que el mercado potencial combinado máximo para
las viviendas es de 150 ( que es menor que la suma de los límites de los
mercados individuales debido al translapo entre los dos mercados). Se desea que
la hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda los 2.000
millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de
bajo costo sea por lo menos de 50 unidades mayor que la mitad del número de
viviendas de costo medio.

Formule y resuelva el problema GRAFICAMENTE y luego computacionalmente.

SOLUCION:

X₁= Vivienda a bajo costo

X₂= Vivienda a mediano costo

F.O. MIN Z= 13X₁+ 18X₂

S.a. 20 X₁+ 15 X₂<= 10

X₁>= 60

X₁ <=100

X₂>= 30

X₂ <=70

X₁+ X₂<= 150

X₁- X₂/2-50 >= 0

13 X₁ + 18 X₂<= 2000

X₁, X₂>= 0

Rta= X₁= 0,50 Casas

Z= 138.000 Millones

PROBLEMA 51

Un gerente de producción está planeando la programación de tres productos en
cuatro máquinas. Cada producto se puede manufacturar en cada una de las
máquinas. A continuación se resumen los costos de producción por unidad (en $)

Suponga que se requieren 4000, 5000 y 3000 unidades de los productos, y que

las horas-máquina disponibles son 1500, 1200, 1500 y 2000, respectivamente.

Formule y resuelva el problema como un programa lineal.

SOLUCION:

X₁= Producto 1 máquina 1

X₂= Producto 2 máquina 1

X₃= Producto 3 máquina 1

X₄= Producto 1 máquina 2

X₅= Producto 2 máquina 2

X₆= Producto 3 máquina 2

X₇= Producto 1 máquina 3

X₈= Producto 2 máquina 3

X₉= Producto 3 máquina 3

X₁₀= Producto 1 máquina 4

X₁₁= Producto 2 máquina 4

X₁₂= Producto 3 máquina 4

F.O. MIN Z= 4X₁+ 6X₂+ 12X₃ + 4X₄ + 7X₅ +10X₆ + 5X₇ + 5X₈ + 8X₉ + 7X₁₀ + 6X₁₁+ 11X₁₂

S.a. 0,3X₁+ 0,2X₂+ 0,8X₃ <= 1500

0,25X₄+ 0,3X₅+ 0,6X₆ <= 1200

0,2X₇+ 0,2X₈+ 0,6X₉ <= 1500

0,2X₁₀+ 0,25X₁₁+ 0,5X₁₂ <= 2000

X₁+ X₄ + X₇ + X₁₀ = 4000

X₂+ X₅ + X₈ + X₁₁ = 5000

X₃ + X₆ + X₉ + X₁₂= 3000

X₁, X₂,X₃,X₄,X₅,X₆,X₇,X₈,X₉,X₁₀,X₁₁,X₁₂ >= 0

PROBLEMA 52

Una compañía ha sido contratada para realizar cinco trabajos. Estos trabajos
pueden efectuarse en seis de sus plantas de manufactura. Debido a la magnitud
de los trabajos, no es factible asignar más de un trabajo a una planta de
manufactura particular. También, el segundo trabajo no puede asignarse a la
tercera planta de manufactura. Los costos estimados, en miles de dólares, para la ejecución de los trabajos en las distintas plantas de manufactura se resumen a continuación

Plantee y resuelva el problema de asignar los trabajos a las plantas de forma que el costo total sea mínimo.

SOLUCION:

X₁= Trabajo 1 planta 1

X₂= Trabajo 1 planta 2

X₃= Trabajo 1 planta 3

X₄= Trabajo 1 planta 4

X₅= Trabajo 1 planta 5

X₆= Trabajo 1 planta 6

X₇=Trabajo 2 planta 1

X₈= Trabajo 2 planta 2

X₉= Trabajo 2 planta 3

X₁₀= Trabajo 2 planta 4

X₁₁= Trabajo 2 planta 5

X₁₂= Trabajo 2 planta 6

X₁₃= Trabajo 3 planta 1

X₁₄= Trabajo 3 planta 2

X₁₅= Trabajo 3 planta 3

X₁₆= Trabajo 3 planta 4

X₁₇= Trabajo 3 planta 5

X₁₈= Trabajo 3 planta 6

X₁₉= Trabajo 4 planta 1

X₂₀= Trabajo 4 planta 2

X₂₁= Trabajo 4 planta 3

X₂₂= Trabajo 4 planta 4

X₂₃= Trabajo 4 planta 5

X₂₄= Trabajo 4 planta 6

X₂₅= Trabajo 5 planta 1

X₂₆= Trabajo 5 planta 2

X₂₇= Trabajo 5 planta 3

X₂₈= Trabajo 5 planta 4

X₂₉= Trabajo 5 planta 5

X₃₀= Trabajo 5 planta 6

F.O. MIN Z= 50X₁+ 66X₂+ 81X₃ + 40X₄ + 62X₅ + 55X₆ + 70X₇ + 78X₈ + 42X₉ + 55X₁₀ + 42X₁₁+ 72X₁₃ + 38X₁₄ + 58X₁₅+ 57X₁₆ + 68X₁₇ +80X₁₈ +45X₁₉ +60X₂₀ +48X₂₁+75X₂₂ +85X₂₃ + 46X₂₄ +56X₂₅+ 52X₂₆ + 63X₂₇ + 78X₂₈ + 42X₂₉ + 65X₃₀

S.a. X₁+ X₂+ X₃ + X₄ +X₅ = 1

X₆ + X₇ + X₈ + X₉ + X₁₀ = 1

X₁₁+ X₁₂ + X₁₃ + X₁₄+ X₁₅=1

X₁₆ + X₁₇ + X₁₈ + X₁₉ + X₂₀= 1

X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄+ X₂₅ = 1

X₂₆ + X₂₇ + X₂₈ + X₂₉+ X₃₀ = 1

Rta: X₃= 1

X₉= 1

X₁₈= 1

X₁₉= 0

X₂₁= 1

X₂₆= 1

Z= 213 Miles de dólares (Costo total mínimo)

PROBLEMA 54

El Martes, la empresa Metro de Medellín dispondrá cuatro locomotoras en la
Estación Niquía, una locomotora en la Estación Itaguí y dos locomotoras en la
Estación San Javier. En la Estación Hospital, Parque Berrío, Industriales y Estadio habrá vagones cada uno requiriendo una locomotora. El mapa local Proporciona las siguientes distancias:

SOLUCION:

X₁= Distancia NH

X₂= Distancia NE

X₃= Distancia NI

X₄= Distancia NPB

X₅= Distancia IH

X₆= Distancia IE

X₇= Distancia II

X₈= Distancia IPB

X₉= Distancia SH

X₁₀= Distancia SE

X₁₁= Distancia SI

X₁₂= Distancia SPB

F.O. MIN Z= 13X₁+ 6X₂+ 15X₃ + 35X₄ + 61X₅ +10X₆ + 42X₇ + 18X₈ + 5X₉ + 9X₁₀ + 30X₁₁+ 9X₁₂

S.a. X₁+ X₄+ X₇ + X₁₀= 4

X₂+ X₅+ X₈+ X₁₁ = 1

X₃+ X₆+X₉ + X₁₂= 2

X₁, X₂,X₃,X₄,X₅,X₆,X₇,X₈,X₉,X₁₀,X₁₁,X₁₂ >= 0

Rta: X₂= 1

X₉= 2

X₁₀= 4

Z= 52 (Distancia Mínima)

LA SOLUCION DE PROBLEMAS EN LA INDUSTRIA CON EL METODO SIMPLEX

CRISTIAN EDUARDO VIVIESCAS ALVAREZ

Corporación Universitaria del Meta

Ingeniería industrial

Calle 10 c # 42 a 43 Esperanza 2° Etapa

3203797880

Anticris_17@hotmail.com

En las empresas se establecen una serie de funciones entre las cuales nosotros los ingenieros industriales y demás ramas de la ingeniería debemos ejercer distintas formas de planteamientos que generen una máxima efectividad y productividad en el desarrollo de las actividades dentro de la empresa y sus funciones a desempeñar para dar óptimos resultados en la producción o servicios prestados a la sociedad, en donde nos encontraremos con distintas dificultades y problemas los cuales debemos dar una solución rápida, adecuada y eficaz para generar y alcanzar una mayor eficiencia en los procesos realizados.

Debido a esta serie de dificultades y problemas que se generan en los diferentes ámbitos laborales de las industrias, desde mediados del siglo xx se establecen una cantidad de métodos y alternativas para escoger libremente con el objetivo de dar una solución clara a estos inconvenientes y obtener un desarrollo eficiente de los procesos dentro de la empresa, pero los métodos ya establecidos en ese entonces producían una cantidad de interrogantes y problemas no resueltos en donde generaba pérdidas significativas para las empresas.

Después de tantos errores y de un gran avance en los estudios científicos y prácticos y de obtener los conocimientos necesarios y deseados para la profundización en la realización de los problemas se implementa la programación lineal, esta herramienta es practica a la hora de dar solución a los problemas, ha sido satisfactoria en las empresas generando una excelente reputación y permite lograr la utilización de esta en toda la industria dando resultados eficientes.

En este proceso se permite obtener una buena toma de decisiones al aplicar y realizar un análisis específico de las variables dadas establecidas en el problema para tener de manera clara una óptima solución, por ende una de las maneras más eficiente de aplicar la programación lineal es con el método simplex el cual fue desarrollado en 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

Gracias a estos señores se lograron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad de estudio e investigación con modelos formulados pero no resueltos, estableciendo una forma rápida y practica en la solución de los problemas en la industria.

Este método practico obtiene un avance significativo con el desarrollo de las computadoras y procesos tecnológicos, se logra obtener un conocimiento básico y especifico de la programación lineal para la aplicación de sus diferentes métodos según los requisitos deseados, analizando cada una de las variables para dar una respuesta más precisa y con el fin de hacer el proceso más fácil.

Establecido este método se obtiene un ahorro significativo en tiempo y dinero en la optimización de los procesos en la empresa y da unos resultados económicos viables para la industria, permitiendo un análisis y un desarrollo claro de la producción, inventario, ganancias y pérdidas.

En la actualidad en las empresas aún se implementa y se utiliza de manera eficaz el método simplex ayudándonos a dar un concepto claro de lo que se debe establecer en los diferentes actividades logrando un desarrollo eficaz y haciendo que estas tengan un análisis claro de las inversiones con las ganancias y las diferentes labores disminuyendo el déficit y perdidas económicas debido a que se establecen medidas exactas de lo que se debe realizar en los procesos.

En conclusión el método simplex es una manera fácil, practica y rápida de dar soluciones optimas en los diferentes campos laborales a todos los problemas establecidos o surgidos en el desarrollo de la industria siendo satisfactorio y eficaz las respuestas, permitiendo establecer y generar una producción y los diferentes procesos en un alto nivel de efectividad y logrando un ahorro significativo económico en el desarrollo de la empresa.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

MATEMATICAS IV

martes, 4 de marzo de 2014

EJERCICIOS DE METODO SIMPLEX

Ensayo sobre metodo simplex

CRISTIAN EDUARDO VIVIESCAS ALVAREZ